Algebra lineare: Gli spazi vettoriali

Operazione interna

Prima di definire il concetto di struttura algebrica, è opportuno introdurre la definizione di operazione interna.

Sia \(A\) un insieme, si dice operazione interna e binaria una funzione che associa a ogni coppia ordinata \(a,b\) di elementi di \(A\) un elemento di \(A\) stesso: \(f:A⨯A→A \) e viene indicata con un simbolo interposto tra i due termini \(a\) e \(b\): \( (a,b) → a⋆b \)

In altre parole, data una coppia qualsiasi di elementi di \(A\), il risultato dell’operazione \(a⋆b\) è ancora un elemento di \(A\). Le operazioni binarie interne godono delle seguenti proprietà:
\(\quad\)Commutativa: \(\forall\) \(a,b\) \(\in\) \(A\), \(a⋆b=b⋆a\)
\(\quad\)Associativa: \(\forall\) \(a,b,c\) \(\in\) \(A\), \(a⋆(b⋆c)=(a⋆b)⋆c\)
\(\quad\)Identità: \(\exists\) \(e\) \(\in\) \(A\) | \(\forall\) \(a\) \(\in\) \(A\), \((a⋆e)=(e⋆a)=a\)
\(\quad\)Inverso: \(\exists\) \(a,b\) \(\in\) \(A\) | \((a⋆b)=(b⋆a)=e\)

Struttura algebrica

Sia \(A\) un insieme e \(⋆\) una operazione interna ad \(A\), una struttura algebrica è un insieme non vuoto su cui sono definite una o più operazioni interne e viene denotata con la seguente scrittura: \( (A,⋆) \).
Una struttura algebrica \(( A , ⋆)\) si definisce:

  1. semigruppo se l’operazione \(⋆\) è associativa.
  2. monoide se è un semigruppo con elemento neutro.
  3. gruppo se è un monoide in cui ogni elemento ha inverso.
  4. gruppo abeliano se è un gruppo in cui l’operazione \(⋆\) è commutativa.

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