Algebra lineare: Gli spazi vettoriali

Campo

Siano \(K\) un insieme non vuoto dotato di due operazioni binarie \(⋆\) e \($\); un campo è una terna \((K,\star ,\$)\) tale che:

  1. \((K,\star )\) è un gruppo abeliano con elemento neutro \(0_k\);
  2. \((K \setminus \{0_{K}\},$)\) è un gruppo abeliano;
  3. \(\forall\) \(a,b,c\) \(\in\) \(K\), \((a⋆b)$c=(a$b)⋆(a$c)\) ovvero vale la proprietà distributiva.
  4. \(0_{⋆}\) è l’elemento neutro di \(⋆\) e \(1_{$}\) è l’elemento neutro di \($\)
  5. Se \(a\) \(\in\) \(K\), \(-a\) si dice opposto di \(a\)rispetto a \(⋆\); se inoltre \(a\) ≠ \(0_{⋆}\) allora \(a^{-1}\) si definisce suo reciproco per \($\) ed è detto inverso.

Le due operazioni \(⋆\) e \($\) sono dette somma e prodotto e sono indicate con \( +\) e \(\cdot\).

In particolare:

\((\mathbb{R},+,\cdot)\)è un campo, in quanto la somma e il prodotto sui numeri reali verificano le proprietà di gruppo e inoltre verificano la proprietà distributiva su ogni terna di numeri.
\((\mathbb{Q},+,\cdot)\)è un campo in modo del tutto analogo al campo \((\mathbb{R},+,\cdot)\).
\((\mathbb{Z},+,\cdot)\)non è un campo, perché non esiste un inverso per il prodotto di alcun numero intero diverso da \(1 , − 1\).

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