Algebra lineare: Gli spazi vettoriali

Spazio vettoriale reale

Sia \(\mathbb{R}\) il campo dei numeri reali e sia \(V\) un insieme su cui sono definite due operazioni:

  1. somma \(+ : \forall u,v \in V  \rightarrow u+v \in V\)
  2. moltiplicazione per scalare \(\cdot : \forall u \in V, \forall \alpha \in \mathbb{R} \rightarrow \alpha\cdot v \in V\)

Se valgono le seguenti proprietà:

  1. \(( V, +)\) è un gruppo abeliano;
  2. \(\forall u,v \in V, \forall \alpha,\beta  \in \mathbb{R}\) si ha:
    1. \((\alpha+\beta) \cdot u = \alpha u + \beta u\),
    2. \(\alpha \cdot (u+v) = \alpha u + \alpha v\),
    3. \((\alpha \cdot \beta) \cdot u = \alpha \cdot (\beta \cdot u\)),
    4. \((1 \cdot u) = u\).

si dice che \(V\) è uno spazio vettoriale su \(\mathbb{R}\); gli elementi di V prendono il nome di vettori, gli elementi di \(\mathbb{R}\) sono detti scalari. Vale inoltre la proprietà: \(\forall u \in V\), 0 \(\in \mathbb{R} \rightarrow\) 0 \(\cdot u = 0 \).

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