Algebra lineare: Gli spazi vettoriali

Dipendenza e indipendenza lineare

Dato uno spazio vettoriale \(V\) nel campo \(\mathbb{R}\) di \(n\) \((\forall n \in \mathbb{N})\) vettori \(v_1,v_2, \dotsc, v_n \in V\) ed \(n\) scalari \(\alpha_1,\alpha_2, \dotsc, \alpha_n \in \mathbb{R}\), il vettore \(\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2\cdot v_2 + \dotsc + \alpha_n\cdot v_n \) prende il nome di combinazione lineare dei vettori \(v_1,v_2, \dotsc, v_n \) secondo gli scalari \(\alpha_1,\alpha_2, \dotsc, \alpha_n \).

Esempio. La combinazione lineare dei vettori (1,0,3), (2,3,1) e (0,1,2) secondo gli scalari (1,0,−1) è data dal vettore 1(1,0,3) + 0(2,3,1) -1 (0,1,2) = (1,-1,1).

Un sottoinsieme di vettori \(S=\{v_1,v_2 \dotsc v_n\}\) dello spazio vettoriale \(V\) si dice linearmente dipendente se esistono degli scalari non tutti nulli \(\{\alpha_1,\alpha_2, \dotsc, \alpha_n\}\) tali che:
$$ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dotsc + \alpha_n v_n = 0 $$
Al contrario, un sottoinsieme di vettori \(S=\{v_1,v_2 \dotsc v_n\}\) dello spazio vettoriale \(V\) si dice linearmente indipendente se \(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dotsc + \alpha_n v_n = 0\) solo quando tutti gli scalari sono nulli, cioè \(\alpha_1=\alpha_2= \dotsc =\alpha_n=0\).

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