Algebra lineare: Gli spazi vettoriali

Base di uno spazio vettoriale

Sia un sottoinsieme \(S\) dello spazio vettoriale \(V\). \(S\) è un insieme di generatori per \(V\) se tutti gli elementi di \(s\) possono essere ottenuti dalla combinazione lineare degli elementi di \(S\); in altre parole:
\(\quad\forall \textbf{v} \in V \;\)
\(\quad\exists \; \{u_1,u_2 \dotsc u_n\} \in S\),
\(\quad\exists \; \alpha_1,\alpha_2 \dotsc \alpha_n \in \mathbb{R}\)
\(\quad|\; \textbf{v}=\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \dotsc + \alpha_n u_n\).

Si definisce base di uno spazio vettoriale \(V\) un sottoinsieme \(B=\{v_1,v_2, \dotsc, v_n\}\) formato da generatori di \(V\) linearmente indipendenti tra loro.

Teorema della dimensione. Sia \(V\) uno spazio vettoriale e si supponga che esista una base di \(V\) formata da un numero finito \(n\) di elementi. Allora tutte le basi di \(V\) avranno \(n\) elementi. In altre parole, se \(B=\{b_1,b_2, \dotsc, b_n\}\) e \(C=\{c_1,c_2, \dotsc, c_m\}\) sono due basi per \(V\), allora \(n=m\), ossia \(B\) e \(C\) hanno lo stesso numero di vettori.
Di conseguenza:
\(\quad\)Ogni insieme di generatori di \(V\) costituito da \(n\) vettori è una base per \(V\);
\(\quad\)Ogni insieme linearmente indipendente costituito da \(n\) vettori è una base per \(V\);
\(\quad\)Tutte le basi di \(V\) hanno la stessa cardinalità.

Definizione. Si definisce dimensione dello spazio vettoriale \(V\) la cardinalità di una sua qualsiasi base, e si indica col simbolo \(dimV\).

Definizione. Dato lo spazio vettoriale \( \mathbb{R}^n \), si definisce base canonica l’insieme di vettori unitari \(B=\{e_1,e_2, \dotsc , e_n\}\), dove \(e_1=\{1,0, \dotsc ,0\}\), \(e_2=\{0,1, \dotsc ,0\}\), \( \dotsc \), \(e_n=\{0,0, \dotsc ,1\}\).

Sia \(V\) uno spazio vettoriale e sia \(B=\{u_1,u_2, \dotsc , u_n\}\), una base ordinata per \(V\), cioè una base in cui i vettori sono ordinati. Il vettore \(V\) può essere espresso in unico modo come combinazione lineare dei vettori di \(B\): \(v=\{c_1u_1+c_2u_2+ \dotsc + c_nu_n\}\)
cioè i coefficienti di combinazione sono univocamente determinati.
Il vettore \(c=\{c_1,c_2, \dotsc , c_n\}\) è chiamato il vettore di coordinate di \(v\) rispetto a \(B\) e si indica con \([v]_B\).

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