Algebra lineare: Le matrici
Definizione di matrice
Con il termine matrice si intende un insieme composto da elementi reali ordinati in m righe ed n colonne e si rappresenta nel modo seguente:
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} ovvero:
$$
A=(a_{ij}) \;\;\; 1\le \; i\le \;m\; \;\; \; 1\le \; j\le \;n\;
$$
con gli elementi in genere indicati con una coppia di indici a pedice.
Definizione. La dimensione di una matrice è data dal prodotto tra il numero m di righe e il numero n di colonne e si indica con \(m×n\); di conseguenza una matrice di dimensione \(m×n\) viene detta matrice di tipo \((m,n)\) e, se i suoi elementi sono numeri reali, si dice che essa appartiene a \(\mathbb {R}^{m×n}\), oppure \(\mathbb {R}^{m,n}\).
Definizione. Col simbolo \(A_i\) con \(1\le \; i\le \;m\;\) si indica la i-esima riga della matrice \(A\), mentre col simbolo \(A^j\) con \(1\le \; j\le \;n\;\) si indica la j-esima colonna della matrice \(A\).
Ogni riga di \(A\) è una n-upla ordinata di numeri reali per cui:
\(A_1, A_2, \cdots, A_{m-1}, A_m \in \mathbb{R}^n \) e prende il nome di vettore riga.
Analogamente ogni colonna di \(A\) è una m-upla ordinata di numeri reali per cui:
\( A^1, A^2, \cdots, A^{n-1}, A^n \in \mathbb{R}^m \) e prende il nome di vettore colonna.
Definizione. Una matrice formata da una sola riga si chiama matrice riga o vettore riga. Una matrice formata da una sola colonna si chiama matrice colonna o vettore colonna.
Esempio. $$ A_{2×3}=\begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 10 & 1 & 5\\ \end{bmatrix} $$
Le righe di \(A\) sono le terne ordinate \(A_1 = (3, -1, 0) , A_2 = (10, 1, 5)\).
Le colonne di \(A\) sono le coppie ordinate \(A^1 = (3, 10), A^2 = (-1, 1), A^3 = (0, 5)\).
Le righe di \(A\) sono vettori dello spazio \(R^3\) delle terne ordinate di numeri reali; le colonne di \(A\) sono vettori dello spazio \(R^2\) delle coppie ordinate di numeri reali.
Se il numero delle righe è diverso da quello delle colonne, la matrice si dice rettangolare, altrimenti si dice quadrata.
Definizione. Due matrici \(m×n\) sono dette dello stesso tipo e gli elementi che occupano lo stesso posto nelle due matrici si dicono elementi corrispondenti; in particolare se sono dello stesso tipo si dicono uguali se gli elementi corrispondenti sono uguali, si dicono opposte se gli elementi corrispondenti sono opposti: \( a_{ij} =-a_{ij} \).
Definizione. Data una matrice \(A\ \; m × n \), si chiama matrice trasposta di \(A\) la matrice che si ottiene da questa scambiando ordinatamente le righe con le colonne e si indica con \(A_T \; n × m\).
Naturalmente la trasposta della trasposta di una matrice è la matrice stessa.
Definizione.Data una matrice \(A_{n×m}\), si definisce pivot della riga i il primo elemento non nullo della riga i-esima.
Esempio
$$
A_{3×3}=
\begin{bmatrix}
-1 & 3 & 0 \\
0 & -2 & 9 \\
-2 & 7 & 0
\end{bmatrix}\
$$
i pivot di ogni riga sono \(a_{11}=-1\), \(a_{22}=-2\) e \(a_{31}=-2\).
Definizione. Una matrice nella quale il pivot della prima riga compare prima del pivot della seconda riga, che a sua volta compare prima del pivot della terza riga, … e le eventuali righe nulle vengono per ultime, si dice matrice a scala (o a scalini).
Esempio
La seguente matrice è una matrice a scala per righe:
$$
A_{3×4}=
\begin{bmatrix}
-1 & 3 & 5 & 4 \\
0 & -2 & 9 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
Definizione. Una matrice \(A\) si dice a scala ridotta per righe se essa è una matrice a scala per righe, se i pivot sono tutti uguali ad 1 e se, in ogni colonna contenente il pivot di una riga, tutti gli elementi diversi dal pivot sono uguali a zero.
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