Algebra lineare: Le matrici

Le matrici quadrate

Si è già visto in precedenza che una matrice si dice quadrata quando il numero di righe è uguale al numero di colonne; quindi l’ordine di una matrice quadrata è uguale al numero di righe o di colonne.

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}

Definizione. Data una matrice quadrata \(A\) di ordine \(n\):
si definisce diagonale principale dl’insieme degli elementi che si trova sulla diagonale di estremi \(a_{11}\) e \(a_{nn}\), ovvero gli elementi \(a_{ij}\) con \(i = j\);
si definisce diagonale secondaria l’insieme degli elementi che si trova sulla diagonale di estremi \(a_{1n}\) e \(a_{n1}\), ovvero gli elementi \(a_{ij}\) per i quali \((i+j)=n+1\).

Esempio. Nella matrice quadrata \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 10 & 1 & 5\\ 3 & -6 & 3 \end{bmatrix}
gli elementi della diagonale principale sono \(3,1,3\);
gli elementi della diagonale secondaria sono \(0,1,3\).

Definizioni. Una matrice quadrata \(A\) si definisce:
triangolare superiore se tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli:
\(\forall i > j \Rightarrow a_{ij}=0\).
triangolare inferiore se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli:
\(\forall i < j \Rightarrow a_{ij}=0\).
diagonale se tutti gli elementi che non si trovano sulla diagonale principale sono nulli:
\(\forall i \ne j \Rightarrow a_{ij} = 0\).
Una matrice diagonale si dice identica (o matrice unità) quando gli elementi della diagonale principale sono tutti uguali a \(1\).

Esempio. Di seguito:
Matrice triangolare inferiore \(4 × 4\)
Matrice triangolare superiore \(4 × 4\)
Matrice diagonale \(4 × 4\)
$$ \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{31} & a_{33} & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} \\ \end{bmatrix} $$

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