Algebra lineare: Le matrici

Operazioni con le matrici

Somma di due matrici dello stesso tipo

Date due matrici \(A\) e \(B\) dello stesso tipo, la matrice somma di \(A + B\) è una matrice dello stesso tipo e i suoi elementi sono la somma degli elementi corrispondenti di \(A\) e \(B\), ovvero:
$$ + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\ \end{bmatrix} = $$ $$ = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1}+b_{n1} & a_{n2}+b_{n2} & \cdots & a_{nn}+b_{nn} \\ \end{bmatrix} $$ cioè se \(A = [a_{ij}]\) e \(B = [b_{ij}]\) sono due matrici dello stesso tipo, la loro somma è la matrice \(A + B = [a_{ij} + b_{ij}]\)

Il risultato di un’addizione fra matrici dello stesso tipo è ancora una matrice dello stesso tipo, per cui l’addizione è un’operazione interna nell’insieme delle matrici dello stesso tipo.
L’addizione fra matrici dello stesso tipo gode inoltre delle proprietà commutativa e associativa e ammette come elemento neutro la matrice nulla dello stesso tipo; l’elemento neutro è una matrice \(E\) tale che \(A + E = E + A = A\) per qualsiasi matrice \(A\).

Differenza di due matrici dello stesso tipo

Date due matrici \(A\) e \(B\) dello stesso tipo, la matrice differenza fra due matrici dello stesso tipo è la matrice \(A + B\) che risulta dalla somma tra la prima matrice e la matrice opposta della seconda; quindi se \(A = [a_{ij}]\) e \(B = [b_{ij}]\) sono due matrici dello stesso tipo, la loro differenza è la matrice \(A – B = [a_{ij} – b_{ij}]\).

Moltiplicazione di una matrice per uno scalare

Se \(A\) è una matrice di ordine \((m,n)\) e \(k\) uno scalare (\(k \in \mathbb{R}\)), dicesi matrice prodotto e si indica con \(k \cdot A\) la matrice i cui elementi sono ciascuno gli elementi corrispondenti di \(A\), moltiplicati per \(k\).
In simboli, se \(k \in \mathbb{R}\) e \(A = [a_{ij}]\) una matrice qualsiasi, la matrice prodotto di \(k\) per \(A\) si può esprimere come: \(k \cdot A = [k \cdot a_{ij}]\).

Prodotto di due matrici
Date due matrici \(A = [a_{hj}]\) di tipo \((m×n)\) e \(B = [a_{ik}]\) di tipo \((n×p)\), il loro prodotto \(A \cdot B\) è la matrice \(C = [c_{hk}]\) di tipo \((m×p)\) tale che:
\(c_{hk} = a_{h1} \cdot b_{1k} + a_{h2} \cdot b_{2k} + \cdots + a_{hn} \cdot b_{nk}\)
cioè il generico elemento \(c_{hk}\) è dato dal prodotto della riga numero \(h\) della matrice \(A\) per la colonna numero \(k\) della matrice \(B\).

Esempio
$$ \begin{bmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \\ \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & -3 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix} = $$ $$ = \begin{bmatrix} 1 \cdot 4 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 2 & 1 \cdot 1 + 5 \cdot (-3) + 0 \cdot 3 \\ 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 2 & 3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3) + 2 \cdot 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -14 \\ 16 & 12 \\ \end{bmatrix} $$

Si noti che il prodotto di matrici righe per colonne è possibile solo quando il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice.
Tale condizione è verificata se le matrici matrici quadrate dello stesso ordine.

In generale, la moltiplicazione fra matrici quadrate non è commutativa, ma valgono la proprietà associativa e la proprietà distributiva.

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