Algebra lineare: Le matrici

Rango di una matrice

Definizione.
Data una matrice \(A\) \(m×n\), si chiama minore di ordine q della matrice \(A\) il determinante di una sottomatrice quadrata di ordine q estratta da \(A\); Si consideri che q è minore o uguale al più piccolo fra m e n.

Esempio
Data una matrice \(3×2\) si estrapola un minore di \(ordine 2\):
$$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{bmatrix} \Longrightarrow \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} \;;\; \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \\ \end{vmatrix} \;;\; \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \\ \end{vmatrix} $$

Data una matrice \(A\) \(m×n\), si chiama rango o caratteristica di \(A\) il massimo ordine fra tutti i minori estratti diversi da zero.
Il rango di una matrice A si indica con \(r\), \(rang(A)\) o \(car(A)\).

Il rango \(r\) di una matrice soddisfa quindi due condizioni:

  1. \(r\) è l’ordine di almeno un minore non nullo estraibile dalla matrice;
  2. tutti i minori non nulli estraibili hanno ordine minore o uguale a \(r\).
Calcolo del rango con il metodo degli orlati o di Kroneker

Esso consiste dei seguenti passi:

  1. si sceglie un minore estratto di ordine 1, diverso da zero;
  2. si orla tale minore estratto in tutti i modi possibili con un’altra riga e un’altra colonna: se tutti i determinanti di ordine 2 così ottenuti sono nulli, allora il rango della matrice è se, invece, esiste un determinante di ordine 2 diverso da zero, lo si orla con un’altra
  3. riga e un’altra colonna, ottenendo un minore estratto del terzo ordine: se tutti i determinanti così ottenuti sono nulli, allora il rango è 2, altrimenti si procede l’iterazione.

Esempio
$$ A_{3×4}= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 & 9 \\ -12 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 9 & 8 \end{bmatrix} $$ $$ |a_{11}|=2\ne0 $$ e quindi il rango sarà almeno pari a 1; si orla tale minore: $$ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -12 & 3 \\ \end{vmatrix} =18\ne0 $$ e quindi il rango sarà almeno pari a 2; si orla tale minore: $$ \begin{vmatrix} 2 & -1 & 5 \\ -12 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 9 \end{vmatrix} =-7\ne0 $$ e quindi il rango sarà pari a 3.

Calcolo del rango con il metodo di Gauss

Definizione. Equivalenza di matrici per righe.
Due matrici \(A_{n×m}\) e \(B_{n×m}\) dicono equivalenti per righe (\(A \sim B\)) se possono essere ottenute l’una dall’altra attraverso un numero finito di operazioni elementari.
Ossia, se esistono \(E_1, \cdots , E_k\) matrici elementari, tali che
Ek · · · E1A = B

L’algoritmo di Gauss trasforma una qualsiasi matrice in una matrice a scalini tramite mosse di Gauss. Funziona nel modo seguente:

  1. Se la prima riga ha il primo elemento nullo, la si scambia con una riga che ha il primo elemento non nullo. Se tutte le righe hanno il primo elemento nullo si passa al punto 3.
  2. Per ogni riga \( A_i\) con primo elemento non nullo con \(i>1\), cioè eccetto la prima, si moltiplica la prima riga per un coefficiente scelto in modo tale che la somma tra la prima riga e \( A_i\) abbia il primo elemento nullo (quindi coefficiente = \( A_{i1}/A_{11}\)).
    Sostituire ora \( A_i\) con la somma appena ricavata.
  3. Sulla prima colonna tutte le cifre, eccetto forse la prima, sono nulle.
    Si ritorna allora al punto 1 prendendo in considerazione la sottomatrice ottenuta cancellando la prima riga e la prima colonna.

Occorre sempre tenere in mente che il risultato dell’algoritmo dipende dalle scelte effettuate; occorre quindi, durante lo svolgimento, ricordare che l’obiettivo è quello di ottenere una matrice a scalini.

Il rango di una matrice a scalini è uguale al numero delle sue righe non nulle.

La matrice seguente è a scalini e ha le ultime due righe nulle:
$$ A_{7×9}= \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 & 0 & -1 & 5 & 4 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & -1 & 5 & 4 & 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ Di conseguenza \(r =(7-2) = 5\).

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