Algebra lineare: Le matrici

Inversa di una matrice

Si chiama matrice inversa di una matrice quadrata \(A\) di ordine \(n\) la matrice quadrata \(A^{-1}\) tale che risulti: $$ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n $$

Non tutte le matrici quadrate ammettono la matrice inversa.
Se una matrice ha la matrice inversa, si dice invertibile. Si dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice sia invertibile è che il suo determinante sia diverso da 0.

Per calcolare l’inversa di una matrice \(A_{n×n}\) invertibile e con determinante \(D \ne 0\), si utilizza il seguente procedimento:

  1. scrivere la matrice dei complementi algebrici \(A{ij}\) degli elementi di \(A\);
  2. dividere ogni elemento di tale matrice per il determinante \(D\);
  3. scrivere la trasposta della matrice ottenuta.

Di conseguenza: $$ \begin{bmatrix} \frac{A_{11}}{D} & \frac{A_{21}}{D} & \cdots & \frac{A_{n1}}{D} \\ \frac{A_{12}}{D} & \frac{A_{22}}{D} & \cdots & \frac{A_{n2}}{D} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ \frac{A_{12}}{D} & \frac{A_{22}}{D} & \cdots & \frac{A_{n2}}{D} \\ \end{bmatrix} $$

Esempio $$ A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \Longrightarrow |A| = -7 $$ I complementi algebrici di A sono: $$ \begin{matrix} A_{11}=-3 & A_{12}=-5 & A_{13}=-1 \\ A_{21}=-4 & A_{22}=-2 & A_{23}=1 \\ A_{31}=2 & A_{32}=1 & A_{33}=-4 \end{matrix} $$ Ciascun complemento algebrico viene diviso per il determinante della matrice \(A\).
I numeri così ottenuti sono detti reciproci degli elementi di A. $$ \begin{bmatrix} \frac{-3}{7} & \frac{-5}{7} & \frac{-1}{7} \\ \frac{-4}{7} & \frac{-2}{7} & \frac{1}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{1}{7} & \frac{-4}{7} \end{bmatrix} $$ Si consideri poi la matrice quadrata del terzo ordine, ottenuta considerando la trasposta della matrice formata dai reciproci di tutti gli elementi di A: $$ A’= \begin{bmatrix} \frac{3}{7} & \frac{4}{7} & \frac{-2}{7} \\ \frac{5}{7} & \frac{2}{7} & \frac{-1}{7} \\ \frac{1}{7} & \frac{-1}{7} & \frac{4}{7} \end{bmatrix} $$ la matrice ottenuta risolve il problema iniziale, ossia che i prodotti \(A \cdot A’\) e \(A’ \cdot A\) sono uguali alla matrice identica di ordine 3: $$ A \cdot A’= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{3}{7} & \frac{4}{7} & \frac{-2}{7} \\ \frac{5}{7} & \frac{2}{7} & \frac{-1}{7} \\ \frac{1}{7} & \frac{-1}{7} & \frac{4}{7} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = I_3 $$ La matrice \(A’\) risulta l’inversa di \(A\) e si indica con \(A^{-1}\).

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