Elementi di Teoria degli Insiemi

Definizione di insieme

Di solito, per indicare gli insiemi, si utilizzano le lettere dell’alfabeto latino \(A\), \(B\), \(C\), mentre gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole \(a\), \(b\), \(c\).
Se \(a\) è un elemento dell’insieme \(A\), si scrive \(a \in A\) e si dice che \(a\) appartiene all’insieme \(A\). Se \(a\) non è un elemento di \(a\), si scrive \(a \notin A\) e si dice che \(a\) non appartiene all’insieme \(A\).

Il criterio che stabilisce se un elemento appartiene a un insieme o meno prende il nome di proprietà caratteristica dell’insieme.

Esempio.
Sono insiemi:
\(\quad \)«Le regioni italiane»,
\(\quad \)«I calciatori di una squadra»,
\(\quad \)«I numeri pari»,
poiché sono definiti con criteri oggettivi.
Non sono insiemi
\(\quad \)«I cibi saporiti»,
\(\quad \)«I film più interessanti»,
\(\quad \)«I numeri con tante cifre»,
poiché non è possibile stabilire con certezza quali e quanti elementi ne fanno parte.

Un insieme \(A\) si dice finito se ha un numero finito di elementi; si dice ordine dell’insieme il numero dei suoi elementi. Un insieme che non è finito si dice infinito; ad esempio gli insiemi \(\mathbb{N} \), \(\mathbb{Z}\) o \(\mathbb{R}\) sono infiniti.
Naturalmente un insieme è considerato noto quando sono noti gli elementi lo costituiscono.

Definizione. Un insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica in due modi: \(\emptyset\) oppure \(\{\}\).

Definizione. La cardinalità di un insieme finito è il numero dei suoi elementi e si indica con \(|A|\), \(card(A)\) o \(\#(A)\).

Definizione. Quando si definisce un insieme tramite un criterio, è necessario indicare l’ambito di riferimento degli elementi dell’insieme; questo ambiente è chiamato insieme universo.
Ambienti diversi, pur con uno stesso criterio, determinano insiemi diversi. Per esempio:
\(A = \{x \in \mathbb{N}\; |\;(x − 5)(x + 1) = 0\} = \{5\}\)
\(A = \{x \in \mathbb{Z}\; |\;(x − 5)(x + 1) = 0 \} = \{5, −1 \}\).
L’insieme universo si indica con la lettera \(U\) e si rappresenta graficamente con un rettangolo e quindi contiene tutti gli elementi e tutti gli insiemi esistenti, compreso se stesso e l’insieme vuoto.

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