Elementi di Teoria degli Insiemi

Sottoinsiemi

Siano \(A\) e \(B\) due insiemi; Se ogni elemento di \(B\) appartiene anche ad \(A\) si dice che \(B\) è incluso in \(A\) o che \(B\) è un sottoinsieme di \(A\) e si indica con \(B \subseteq A\).

Se ogni elemento di \(A\) appartiene a B e ogni elemento di B appartiene ad \(A\) allora \(A\) è uguale a B e si indica con \(A=B\), cioè \(A \subseteq B\) e \(B \subseteq A\).
Se \(B \subseteq A\) e \(A \not \subset B\), allora vuol dire che esiste almeno un elemento di \(A\) che non appartiene a \(B\), pertanto si dice che \(B\) è incluso propriamente in \(A\) e si indica con \(B \subset A\).
Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso, ma non sottoinsieme proprio, ovvero \(A \subseteq A \).

Esempio.
L’insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri relativi, ovvero \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).

Per convenzione si assume che l’insieme vuoto sia contenuto in ogni insieme: \(\emptyset \subseteq A \).

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