Elementi di Teoria degli Insiemi

Prodotto Cartesiano

Siano dati due insiemi non vuoti \(A\) e \(B\), con \(A\) primo insieme e \(B\) secondo insieme. Si definisce coppia ordinata di elementi la coppia formata da un qualsiasi elemento \(a \in A\) e da un qualsiasi elemento \(b \in B\), \((a, b)\) dove alla sinistra della virgola si colloca l’elemento del primo insieme, e alla destra l’elemento del secondo insieme.
Coppia ordinata significa quindi che \((a, b) ≠ (b, a)\).

Si definisce prodotto cartesiano di \(A\) e \(B\) l’insieme che ha come elementi tutte le possibili coppie ordinate estratte da \(A\) e \(B\); in simboli \(A × B = \{(a;b)\;|\;a \in A \;e; b \in B \}\)
Se l’insieme \(A\) contiene n elementi e l’insieme \(B\) contiene m elementi, l’insieme prodotto cartesiano A × B contiene n × m elementi.

Ovviamente, poiché \((a, b) ≠ (b, a)\), il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa, cioè \(A × B ≠ B × A\).

Esempio.
Sia \(A = \{a;b\}\) e \(B = \{1;2;3\}\)
\(A × B = \{(a;1),(a;2),(a;3),(b;1),(b;2),(b;3)\}\)
\(B × A = \{(1;a),(2;a),(3;a),(1;b),(2;b),(3;b)\}\)

Il prodotto cartesiano può essere rappresentato graficamente in diversi modi:
\(\quad \)Diagramma cartesiano
\(\quad \)Diagramma a frecce
\(\quad \)Tabella a doppia entrata
\(\quad \)Diagramma ad albero

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