Logica delle proposizioni
Operazioni logiche
Un’operazione logica è l’azione di un connettivo logico che coinvolge una o più proposizioni.
Il simbolo del connettivo logico identifica il tipo di operazione logica; inoltre, ogni operazione logica è completamente descritta da una tabella o tavola di verità.
Le operazioni logiche di congiunzione, di disgiunzione, di disgiunzione esclusiva, di implicazione e di equivalenza coinvolgono due proposizioni. L’operazione logica di negazione coinvolge una sola proposizione.
Negazione
La negazione (NOT) di una proposizione p è la proposizione che è vera quando p è falsa e falsa quando p è vera. La negazione di p si denota con l simboli \( \bar p\), \(\sim p\) o \(\neg p\) e si legge non p.
La proposizione di negazione è definita in modo da invertire il valore di verità della proposizione di partenza.
La negazione è definita dalla tavola della verità in questo modo:
| \(p\) | \(\bar p\) |
| T | F |
| F | T |
Congiunzione
La congiunzione (AND/et) è un’operazione logica su due proposizioni p e q che si ottiene ponendo il connettivo logico e tra le due proposizioni in forma scritta. La forma simbolica della proposizione composta creata dalla congiunzione è: \(p \land q\) e si legge p congiunto q.
La proposizione composta di congiunzione è definita in modo da risultare vera solo quando le proposizioni componenti sono entrambe vere.
La congiunzione è definita dalla tavola della verità in questo modo:
| \(p\) | \(q\) | \(p \land q\) |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
Disgiunzione
La disgiunzione (OR/vel) è un’operazione logica su due proposizioni p e q che si ottiene ponendo il connettivo logico o tra le due proposizioni in forma scritta. La forma simbolica della proposizione composta creata dalla disgiunzione è: \(p \lor q\) e si legge p disgiunto q.
La proposizione composta di disgiunzione è definita in modo da risultare vera quando almeno una delle proposizioni componenti è vera.
La disgiunzione è definita dalla tavola della verità in questo modo:
| \(p\) | \(q\) | \(p\lor q\) |
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
Disgiunzione esclusiva
La disgiunzione esclusiva (XOR/aut) è un’operazione logica su due proposizioni p e q che si ottiene ponendo il connettivo logico o tra le due proposizioni in forma scritta. La forma simbolica della proposizione composta creata dalla disgiunzione esclusiva è: \(p \dot{\lor} q\) e si legge o p o q.
La proposizione composta di disgiunzione esclusiva è definita in modo da risultare vera quando le due proposizioni componenti hanno valore di verità diverso.
La disgiunzione esclusiva è definita dalla tavola della verità in questo modo:
| \(p\) | \(q\) | \(p \dot{\lor} q\) |
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
Implicazione
L’implicazione materiale è un’operazione logica su due proposizioni p e q che si ottiene ponendo il connettivo logico se davanti alla prima proposizione e il connettivo logico allora tra le due proposizioni.
La forma simbolica della proposizione composta creata dalla implicazione materiale è: \(p \rightarrow q\) e si legge se p allora q; la proposizione p è detta premessa, la proposizione q è detta conseguenza.
La proposizione composta di implicazione materiale è definita in modo da risultare falsa solo quando la premessa è vera e la conseguenza è falsa.
L’implicazione è definita dalla tavola della verità in questo modo:
| \(p\) | \(q\) | \(p \rightarrow q\) |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Equivalenza
La coimplicazione materiale o equivalenza o doppia implicazione è un’operazione logica su due proposizioni p e q che si ottiene ponendo il connettivo logico se e solo se.
La forma simbolica della proposizione composta creata dalla equivalenza è: \(p \leftrightarrow q\) e si legge se p allora q.
La proposizione composta di equivalenza è definita in modo da risultare vera quando le proposizioni componenti hanno lo stesso valore di verità.
La coimplicazione materiale è definita dalla tavola della verità in questo modo:
| \(p\) | \(q\) | \(p \leftrightarrow q\) |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
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