Logica delle proposizioni
La logica dei predicati
Si è visto che una proposizione logica (enunciato) può essere costituita da una proposizione può essere costituita da un soggetto, un predicato o da un soggetto, un predicato e un oggetto.
In altre parole, un enunciato è costituito da un predicato (cioè il verbo della proposizione) che mette in relazione due argomenti (soggetto e oggetto): $$ \underbrace{10}_{soggetto}\;\underbrace{è\;un\;numero\;pari}_{predicato} $$ $$ \underbrace{100}_{soggetto}\;\underbrace{è\;multiplo\;di}_{predicato}\;\underbrace{10}_{oggetto} $$
Facendo riferimento ai due esempi precedenti è chiaro che 10 non è l'unico numero pari così come 100 non è l'unico multiplo di 10.
A volte occorre esprimere una proposizione senza dichiarare espressamente un soggetto e/o un oggetto poiché esso non è unico.
Si definisce enunciato aperto o proposizione indeterminata (o predicato) una proposizione che non ha un soggetto dichiarato e, dunque, per essa non può essere definito un valore di verità.
In tal caso il soggetto mancante viene indicato con la lettera \(x\) e la proposizione indeterminata con \(p(x)\): $$ \underbrace{x}_{soggetto}\;\underbrace{è\;un\;numero\;pari}_{predicato} $$ $$ \underbrace{x}_{soggetto}\;\underbrace{è\;multiplo\;di}_{predicato}\;\underbrace{y}_{oggetto} $$
In questo caso l’enunciato si indica con \(p(x,y)\).
L’insieme dei valori che le variabili \(x\) o \(y\) possono assumere in modo che si passi da un enunciato aperto a una proposizione logica prende il nome di dominio dell’enunciato stesso; l’insieme di tutti i valori del dominio che trasformano un enunciato aperto in proposizione logica prende il nome di insieme verità ed è indicato con \(X\).
Nell’esempio precedente si ha che: \( p(x): \ll x\;è\;un\;numero\;pari \gg \) ha come dominio l’insieme dei numeri naturali \(\mathbb{N}\); se \(x=8\) si ha \( p(8): \ll 8\;è\;un\;numero\;pari \gg \).
Generalizzando:
$$ p(x): \forall \;x\;è\;un\;numero\;pari\;$$ $$ con\;x \in X=\{2,4,6,8,10,12, …\} $$ dove ∀ è chiamato quantificatore universale e ∈ è chiamato quantificatore esistenziale.
Il quantificatore universale \(\forall x\) indica che una proprietà vale per ogni elemento \(x\) dell’insieme a cui appartiene la variabile.
Il quantificatore esistenziale \(\in x\) indica che una proprietà vale per qualche \(x\), nel senso che esiste almeno un elemento dell’insieme a cui la variabile \(x\) appartiene.
Le operazioni di congiunzione, disgiunzione e negazione si applicano anche alle proposizioni indeterminate.
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