Matematica: introduzione alle funzioni

Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche

Funzione iniettiva

Una funzione da \(A\) a \(B\) è iniettiva se ogni elemento di \(B\) è immagine di al più un elemento di \(A\), ovvero dati due elementi \(x_1,x_2\in A\), si ha che: $$ x_1 \ne x_2 ⟹ f(x_1) \ne f(x_2) $$ ovvero: $$ f(x_1) = f(x_2) ⟹ x_1 = x_2 $$

Dicendo al più, vuol dire che ci possono essere elementi di \(B\) che non sono immagini di elementi di \(A\), ma non possono esserci elementi di \(B\) che sono immagini di più elementi di \( A\).
Per dimostrare che una funzione non è iniettiva, è sufficiente che due elementi \(x_1\) e \(x_2\) appartenenti al dominio siano tali che \(f(x_1) = f(x_2)\), oppure, dal punto di vista grafico, che una retta parallela all’asse x intersechi il grafico della funzione in più punti.

Funzione suriettiva

Una funzione da \(A\) a \(B\) è suriettiva quando ogni elemento di \(B\) è immagine di almeno un elemento di \(A\); ovvero l’insieme di arrivo \(B\) coincide con l’insieme immagine. In simboli: $$ \forall b \in B\;\exists\;a \in A : b=f(a) $$

Funzione biunivoca

Una funzione da \(A\) a \(B\) si dice biunivoca o biettiva,se è sia iniettiva sia suriettiva; in simboli: $$ \forall x_1\ne x_2 ⟹ f(x_1) \ne f(x-2) e b=f(a) $$ Naturalmente, se gli insiemi \(A\) e \(B\) sono finiti, allora essi devono avere anche lo stesso numero di elementi.

Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche
a: iniettiva; b: suriettiva; c: biettiva

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