Numeri complessi: Generalità
Radici dell’unità
Un’equazione algebrica particolarmente semplice e sempre risolvibile è \(x^n = 1\).
Nel campo dei numeri reali si ha una sola soluzione, \(x = 1\), se n è dispari, e due soluzioni, \(x = \pm1\), se \(n\) è pari.
In base al teorema fondamentale dell’algebra l’equazione algebrica \(z^n = 1\) ha \(n\) soluzioni nel campo complesso. Esprimendo allora \(z\) e \(1\) in rappresentazione esponenziale si ha:
$$ z^n=1\Rightarrow \rho^n e^{in\theta}=1e^{i2k\pi} $$ Uguagliando modulo e fase ai due membri si ottiene il sistema:
\begin{cases} \rho^n=1 \Rightarrow \rho=1 \\ n\theta=2k\pi \Rightarrow \theta=2k\pi/n \\\end{cases}
Esercizio.
Determinare le soluzioni dell’equazione \(z^4=1\).
Essendo n=4 si può scrivere:
\begin{cases} \rho^4=1 \Rightarrow \rho=1 \\ 4\theta=2k\pi \Rightarrow \theta=2k\pi/4 \Rightarrow \theta=k\pi/2 \\\end{cases}
per \(k=0\) si ha \(z_0=e^{i0}=1\)
per \(k=1\) si ha \(z_1=e^{\pi/2}=i\)
per \(k=2\) si ha \(z_2=e^{i2\pi/2}=-1\)
per \(k=3\) si ha \(z_3=e^{i3\pi/2}=-i\)
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