Numeri complessi: Generalità

Operazioni in \(\mathbb{C}\)

Dati due numeri complessi \(z = a + ib\) e \(w = c + id\) si ha:

Uguaglianza\(z=w \Leftrightarrow a=c \) e \(b=d\)
Somma\(z + w = (a + c) + i (b + d)\)
Sottrazione\(z – w = (a – c) + i (b – d)\)
Prodotto\(z \cdot w = (ac − bd) + i (ad + bc)\)

Per la somma e il prodotto valgono le proprietà commutativa, associativa, distributiva). Inoltre dato \(z = a + ib\) si definisce:

Opposto\(-z = -a – ib\)
Reciproco\(\frac{1}{z} = \frac{a}{(a^2+b^2)} -i \frac{b}{(a^2+b^2)} \)
Complesso Coniugato\(\bar{z} = a – ib\)
Modulo\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Esempio.
Risolvere l’equazione \(z^2 + iz + 2 = 0\) dove \(z=a+ib\).
\(z^2 + iz + 2 = (a + ib)^2 + i(a + ib) + 2 =0\)
\(a^2 + i2ab – b^2 + ia – b + 2 =0\)
\(a^2 – b^2 – b + 2 + i(2ab + a) = 0 \)
L’equazione \(z^2 + iz + 2 = 0\) corrisponde in realtà a \(z^2 + iz + 2 = 0 +i0\) per cui occorre risolvere il sistema:
\begin{cases} Re(z^2 + iz + 2) = 0 \Rightarrow a^2 – b^2 – b + 2 = 0 \\ Im(z^2 + iz + 2) = 0\Rightarrow 2ab + a = 0 \Rightarrow a(2b + 1) = 0\\\end{cases} La seconda equazione ha come soluzione \(a = 0\), per cui la prima equazione diventa:
\(- b^2 – b + 2 = 0\) che restituisce le soluzioni \(b_1=-1\) e \(b_2=2\)
Di conseguenza le soluzioni dell’equazione \(z^2 + iz + 2 = 0\) sono \(z_1 = 2i\) e \(z_2 =-i\).

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