Numeri complessi: Generalità

Forma trigonometrica dei numeri complessi

Ogni punto \((x, y)\) del piano di Argand-Gauss può essere individuato anche assegnando la sua distanza \(r\) dall’origine e l’angolo \(\varphi\) compreso tra il semiasse positivo delle ascisse e la semiretta che dall’origine passa per \((x, y)\). Ricordando la definizione di seno e coseno si ha:
$$ x=r\cos\varphi\;\;\;\; y=rsen\varphi $$ Di conseguenza:
$$ z = x + iy = r\cos\varphi\;+\; irsen\varphi = r(\cos\varphi\;+\; isen\varphi) $$

Complex conjugate picture
Fonte Wikimedia Commons

La rappresentazione \(r(\cos\varphi\;+\; isen\varphi)\) prende il nome di forma trigonometrica del numero complesso \(z = x + iy\).

\(r=|z|\) prende il nome di modulo e \(\varphi= arg(z)\) prende il nome di argomento; \(r\) e \(\psi\) sono dette coordinate polari del punto \(z\) nel piano complesso. In particolare:
\begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \varphi=\arctan (y/x) \\\end{cases}

Se due o più numeri complessi hanno modulo uguale, allora saranno posizionati sulla stessa circonferenza con centro nell’origine; se hanno argomento uguale (a meno di multipli interi di \(2\pi\)) stanno sulla stessa semiretta che parte dall’origine.

La forma trigonometrica consente di calcolare in modo più semplice il prodotto di numeri complessi. Ad esempio, dati \(z = r(\cos \psi + i \sin \psi)\) e \(w = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)\) si ha:
\(z \cdot w = r(\cos \psi + i \sin \psi) \cdot \rho (\cos \theta + i \sin \theta) =\)
\(r\rho[(\cos \psi \cos \theta – \sin \psi \sin \theta) + i(\sin \psi \cos \theta + \cos \psi \sin \theta)]=\)
\(r\rho[\cos(\psi + \theta) + i \sin(\psi + \theta)]\)

Di conseguenza, il prodotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli \((r\rho)\) e per argomento la somma degli argomenti \((\psi + \theta)\).

Con ragionamenti analoghi si dimostra che il quoziente di due numeri complessi ha come modulo il quoziente dei moduli e come argomento la differenza degli argomenti. Ad esempio, dati \(z = r(cos \psi + i sin \psi)\) e \(w = \rho (cos \theta + i sin \theta)\) si ha:
\( \frac{z}{w}= \frac{r}{\rho}[\cos(\psi – \theta) + i \sin(\psi – \theta)]\).

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