Numeri complessi: Generalità

Radici n−esime di un numero complesso

Si dice equazione algebrica di grado \(n\) un’espressione polinomiale a coefficienti reali o complessi nell’incognita \(x\) uguagliata a zero: $$ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots+ a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0 $$ dove il generico \(a_i \in \mathbb{C} \).

Radici n−esime di un numero complesso
Ogni numero complesso non nullo \(w\) ha esattamente \(n\) radici complesse \(n-sime\) distinte, ovvero l’equazione \(z^n = w\) ha \(n\) soluzioni distinte complesse.
Se \(w=\rho(cos \theta + i sin \theta)=\rho e^{i\theta}\), le \(n\) radici \(n-sime\) di \(w\) hanno la forma $$z_k = r_k(cos \varphi k + i sin \varphi k)=r_ke^{i\varphi k}$$ dove \(r=\sqrt[n]{\rho}\) e \(\varphi_k=\frac{\theta+2k\pi}{n}\) con \(k=0,1,2,\ldots,n-1\) \)

Si noti che le radici \(n-sime\) di \(w\) sono i vertici di un poligono regolare di \(n\) lati inscritto nella circonferenza di centro \(0\) e raggio \(r\). Ogni radice si ottiene dalla precedente incrementando l’argomento \(\varphi_k\) di un angolo pari a \(2\pi/n\).

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