Numeri complessi: Generalità

Teorema fondamentale dell’algebra

Teorema fondamentale dell’algebra.
Un’equazione algebrica di grado \(n\) ammette \(n\) soluzioni (anche ripetute) nel campo complesso.

Ogni polinomio di grado \(n\) ha esattamente \(n\) radici complesse \(w_k\) con \(k=1, \ldots, n\) e può essere decomposto nel prodotto di \(n\) binomi del tipo \((z − w_k )\). In particolare si ha $$ P_n(z) = a_n(z – w_1)(z – w_2) \cdots (z − w_n) $$ che può essere scritto come $$ P_n(z) = a_n\prod_{i=1}^n (z-w_i) $$ L’ultima espressione prende il nome di fattorizzazione di \(P_n(z)\).

Come scritto in precedenza, le radici del polinomio possono anche essere non tutte distinte; raggruppando le radici in modo da identificare quelle uguali, si chiama molteplicità di una radice il numero di volte per cui quella radice si ripete.

Esercizio.
Calcolare le radici terze di \(w =−8\), ovvero risolvere l’equazione \(z^3 + 8 = 0\) in \(\mathbb{C}\).
\(w=-8 \Rightarrow w=-8+i0 \Rightarrow |w|=8 \quad  \arg(w)=\pi \Rightarrow w=8e^{i\pi}\)
Ricordando che, in generale, \(\varphi=\varphi+2\pi=\varphi+2k\pi\), si ha che\(w=8e^{i\pi}=8e^{i(\pi+2k\pi)}\). Di conseguenza:
\(z^3=-8 \Rightarrow \rho^3e^{i3\theta}=8e^{i(\pi+2k\pi)} \Rightarrow \rho^3=8 \) e \(3\theta=\pi+2k\pi \Rightarrow \rho=2 \) e \(\theta=\frac {\pi+2k\pi}{3}\)

per \(k=0\) si ha \(z_1=2e^{i\pi/3}=2(1/2+i\sqrt{3}/2)=1+i\sqrt{3}\)
per \(k=1\) si ha \(z_2=2e^{i3\pi/3}=2e^{i\pi}=2(-1+i0)=-2\)
per \(k=2\) si ha \(z_3=2e^{i5\pi/3}=2(2-i\sqrt{3}/2)=1-i\sqrt{3}\)

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