Successioni numeriche: generalità

Progressioni aritmetiche

Un particolare tipo di successioni è costituito dalle progressioni aritmetiche, o successioni lineari, chiamate così poiché il termine generico \(f(n)\) dipende linearmente dal valore di \(n\).

Definizione. Una successione numerica si dice progressione aritmetica quando la differenza fra ogni termine e il suo precedente è costante; tale differenza si dice ragione della progressione.

Di conseguenza, se \(a_n\) è il termine n-esimo di una progressione aritmetica di ragione \(d\) si ha: \(a_n = a_{n-1} + d\;\;\) e \(\;\;a_n = a_{n+1} – d\).
Generalizzando, si ha: \(a_n = a_1 + (n – 1) d\) , con \(n > 0\).

Esempio. La successione dei numeri pari è una progressione aritmetica avente base 0 e ragione 2.

Teorema. La somma \(S_n\) dei primi \(n\) termini di una progressione aritmetica è uguale al prodotto di \(n\) per la semisomma dei due termini estremi \(a_1\) e \(a_n\):
\(S_n=n \cdot \frac{a_1+a_n}{2}\).

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