Analisi Matematica: Applicazioni delle derivate alla geometria analitica

La retta tangente al grafico di una funzione

Data una curva di equazione \(y(x)=f(x)\), conoscendo un suo punto di ascissa \(x_0\), è possibile scrivere l’equazione della retta tangente a \(y(x)\) nel punto \(P_0(x_0;y_0)\).
E’ sufficiente ricordare che il relativo coefficiente angolare è uguale al valore della derivata prima di \(f(x)\) per \(x=x_0\):
$$ y-y_0=f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$
Esercizi
Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico delle seguenti funzioni nei punti di ascissa \(x_0\) segnati a fianco.

\(y(x)=x^3+2x+3\;\;\;\;\; x_0=-1\)

\(y(x)=senx+cosx\;\;\;\;\; x_0=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

\(y(x)=ln(2-e^x)\;\;\;\;\; x_0=0\)

\(y(x)=\sqrt{5x^2-1} \;\;\;\;\; x_0=1\)

Punti di tangenza tra una curva e la relativa retta tangente

Data una curva di equazione \(y(x)=f(x)\), conoscendo il coefficiente angolare della retta tangente è possibile calcolare l’ascissa dei punti di tangenza, sapendo che \(m=f'(x_0)\). Da qui per sostituzione, è possibile recuperare le relative ordinate.
Esercizi
Determinare le coordinate dei punti nei quali le rette tangenti ai grafici delle seguenti funzioni hanno il coefficiente angolare indicato di fianco.

\(y(x)=\displaystyle\frac{x^2-1}{x} \;\;\;\;\; m=2\)

\(y(x)=2senx\;\;\;\;\; m=-1\)

\(y(x)=ln(x^2+1)\;\;\;\;\; m=1\)

\(y(x)=\sqrt{1-x^2}\;\;\;\;\; m=2\)

Applicazioni delle derivate alla geometria analitica

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