Analisi Matematica: Applicazioni delle derivate alla geometria analitica

Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico della seguente funzione nel punti di ascissa \(x_0\) segnati a fianco.
$$y(x)=ln(2-e^x)\;\;\;\;\; x_0=0$$
L’ordinata \(y_0\) corrispondente a \(x_0=0\) è:
$$y(0)=ln(2-e^0)=ln(2-1)=Ln(1)=0$$
Il punto di tangenza è \(P_0(0;0)\).
Ricordando che la retta tangente a \(y(x)\) passante per il punto \(P_0(x_0;y_0)\) è \(y-y_0=m(x-x_0)\) con \(m=y'(x_0)\) si ha:
$$y'(0)=-\displaystyle\frac{e^0}{2-e^0}=-\displaystyle\frac{1}{2-1}=-1 $$
Il coefficiente angolare della retta tangente è: \(m=-1\).
L’equazione della retta tangente è allora:
$$y-0=-1(x-0)$$

$$y=-x$$

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