Le derivate prime: esercizi svolti
$$y(x)=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{2- x^2}}$$
La funzione si presenta nella forma:
$$y(x)=\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\quad con \quad f(x)=x \quad e \quad g(x)=\sqrt{2- x^2}=(2-x^2)^\frac{1}{2}$$
Considerando il quoziente di due funzioni si ha:
$$ (1)\; y'(x)=\displaystyle\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} $$
A sua volta \(g(x)\) può essere vista come una funzione composta nella forma generale:
$$y=g[z(x)] \; con \; g(x)=z(x)^\frac{1}{2} \;\; e \;\; z(x)=(2-x^2)$$
Ricordando la regola per le funzioni composte si ha:
$$ (2)\; y’=g'[z(x)]\cdot z'(x) $$
con:
$$ g'[z(x)]=\frac{1}{2}\cdot z(x)^{(\frac{1}{2}-1)}=\frac{1}{2}\cdot (2-x^2)^{-{\frac{1}{2}}} \; e \; z'(x)=(-2x) $$
Di conseguenza:
$$f'(x)=1 $$
$$ g'(x)=\frac{1}{2}\cdot (2-x^2)^{-{\frac{1}{2}}}\cdot(-2x)= \displaystyle\frac{-x}{\sqrt{2- x^2}}$$
Partendo dalla (1) si ha, infine:
$$y'(x)=\displaystyle\frac{(1 \cdot \sqrt{2- x^2})+(\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{2- x^2}})}{2-x^2}$$ $$y'(x)=\displaystyle\frac{2-x^2+x^2}{(2-x^2)\sqrt{(2- x^2)}}$$
e quindi:
$$\left( \displaystyle\frac{x}{\sqrt{2- x^2}}\right)’=\displaystyle\frac{2}{(2-x^2)^{3/2}}$$
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