Geometria: il piano cartesiano e la retta con esercizi svolti

L’equazione di una retta

L’equazione lineare ax + by + c = 0, con coefficienti reali e con a e b non contemporaneamente nulli, è un’equazione di primo grado nelle incognite x e y.
Le soluzioni sono infinite poiché è sufficiente sostituire a x un qualsiasi numero reale e determinare il corrispondente valore di y, ovvero una coppia del tipo (x0;y0).
A ogni soluzione corrisponde un punto del piano cartesiano.

Teorema.
A una qualsiasi retta del piano cartesiano corrisponde un’equazione lineare in due variabili e, viceversa, a ogni equazione lineare in due variabili corrisponde una retta del piano cartesiano.
Esiste allora una corrispondenza biunivoca fra i punti di una retta e le soluzioni della relativa equazione lineare.

Forma esplicita e forma implicita
L’equazione della retta nella forma ax+by+c=0 è detta equazione della retta in forma implicita.
Se la retta non è parallela all’asse delle ordinate (b diverso da zero) l’equazione può essere esplicitata rispetto alla y; ponendo m=-a/b e q=-c/b si ottiene y=mx+q (q è detto ordinata all’origine, m è detto coefficiente angolare) che è chiamata equazione della retta in forma esplicita. In conclusione:

ax + by + c = 0 ⇔ retta in forma implicita
y = mx + q ⇔ retta in forma esplicita

Esercizio
Scrivere in forma esplicita la retta x-3y+15=0.
Poiché m=-1/(-3)=1/3 e q=-15/(-3)=5 si ha: y=x/3+5

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