Fisica – I moti nel piano: il moto armonico semplice con esercizi
Esercizio Svolto 3
Un oscillatore si muove di moto armonico semplice con pulsazione \(\omega=(\pi/12) rad/s\) e ampiezza \(A=10cm\). Calcolare:
– l’elongazione iniziale \(x_0\), sapendo che per \(t=t_1=2.0s\) si ha \(x_1=A/2\) e \(v_1<0\);
– per quale valore di \(t\) l’oscillatore passa per la prima volta dal centro di oscillazione.
La legge oraria del moto armonico semplice è: $$x(t)=Asen(\omega t+\varphi)$$ Occorre innanzitutto ricavare il valore della fase iniziale \(\varphi\).
La legge oraria del moto armonico semplice all’istante \(t_1=2.0s\) è:
\(x_1=5=10sen(\omega t_1+\varphi) \Rightarrow \) \(sen( \omega t_1 +\varphi)=1/2\)
\((*) \quad \omega t_1 + \varphi=\begin{cases} \displaystyle\frac{\pi}{6}\pm2k\pi \\ \displaystyle\frac{5}{6}\pi\pm2k\pi \end{cases}\) con \(k=0,1,2…\)
Poiché \(v_1=\omega A cos( \omega t_1 + \varphi )<0\) ovvero \(cos( \omega t_1 + \varphi )<0\), tale occorrenza si attua se l’angolo \( \omega t_1 + \varphi \) si trova nel II o III quadrante. Di conseguenza dalla \((*)\) occorre escludere la prima opzione per cui, sostituendo a \(\omega\) e \(t_1\) i rispettivi valori, si ha:
\( \displaystyle\frac{\pi}{12} 2.0 + \varphi= \displaystyle\frac{5}{6}\pi+2k\pi \Rightarrow \) \( \varphi= \displaystyle\frac{5}{6}\pi – \displaystyle\frac{1}{6}\pi \pm2k\pi \)
Per \(k=0\) si ha: \(\varphi= \displaystyle\frac{2}{3}\pi \)
E’ possibile ora calcolare l’elongazione iniziale:
\(x_0=Asen\varphi \Rightarrow \) \(x_0=10sen \displaystyle\frac{2}{3}\pi =10 \displaystyle\frac{\sqrt {3}}{2} \Rightarrow\)
\(x_0 =8.7cm \)
Il passaggio per il centro di oscillazione avviene quando \(x=0\) ovvero quando \( sen(\omega t+\varphi)=0\), il che implica che \( \omega t+\varphi=\pm k\pi \) con \(k=0,1,2…\)
Sostituendo a \(\omega\) e \(\varphi\) i rispettivi valori si ha: \( \displaystyle\frac{1}{12}\pi \cdot t + \displaystyle\frac{2}{3}\pi =\pm k\pi \Rightarrow \) \(t= \pm 12k-8s \)
Il primo valore non negativo per \(t\) si ha quando \(k=1\), per cui l’oscillatore passa per la prima volta dal centro di oscillazione all’istante:
\(t=12-8=4s\)
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