Fisica – I moti nel piano: il moto armonico semplice con esercizi

Definizione e formule del moto armonico semplice

Il moto armonico semplice lungo un asse rettilineo è un moto vario in cui un punto P descrive, lungo una direzione rettilinea, oscillazioni di ampiezza A rispetto a un punto O: a intervalli uguali di tempo il punto ripassa nella stessa posizione alla stessa velocità.
Tali oscillazioni sono tutte uguali tra loro e hanno la stessa durata. La durata di una oscillazione completa è detta periodo \(T\) del moto armonico.
La legge oraria è definita dalla relazione: $$x(t)=Asen(\omega t+\varphi)$$ dove \(A\) è l’ampiezza, \(\varphi\) è la fase iniziale all’istante iniziale, \(\omega\) è la pulsazione.
Poiché funzione seno varia da -1 a 1, la funzione oraria varia da \(A\) a \(-A\), per cui l’ampiezza del moto armonico è pari a \(2A\).
Il periodo \(T\) del moto armonico è \(2\pi\) e indica la durata di un’oscillazione completa rispetto al centro O; è legato alla pulsazione dalla formula \(\omega= \displaystyle\frac{2\pi}{T} \).
L’ampiezza si misura in \(m\), la pulsazione in \(s^{-1}\) e la fase in \(rad\).

La velocità e l’accelerazione in funzione del tempo valgono:
$$v(t)= \displaystyle\frac{dx}{dt} =\omega A cos(\omega t+\varphi)$$ $$a(t) = \displaystyle\frac{dv}{dt} =-\omega^2Asen(\omega t+\varphi)=- \omega^2 x(t)$$
La velocità si annulla del tutto v(t)=0 quando il moto raggiunge uno degli estremi dell’ampiezza \(x=\pm A\) e aumenta quando ci si muove verso il centro di oscillazione (\(x=0\)) dove assume il valore massimo.
L’accelerazione aumenta quando ci si sposta da un estremo verso il centro di oscillazione e, viceversa, si riduce quando ci si allontana.

Dalla formula dell’accelerazione \( a(t) =- \omega^2 x(t) \) si ricava l’equazione differenziale del moto armonico: $$\displaystyle\frac{d^2x(t)}{dt^2} + \omega^2 x(t)=0$$

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