Geometria – Problema su cerchio e circonferenza e teorema di Euclide
Calcolare la lunghezza del contorno e l’area della superficie colorata in verde della figura seguente, sapendo che il cateto maggiore del triangolo rettangolo ABC misura 32cm e la sua proiezione sull’ipotenusa è 25,6cm.
Il contorno colorato è costituito da tre semicirconferenze.
La prima ha diametro pari rispettivamente a BC (ipotenusa del triangolo ABC), la seconda ha diametro BH (proiezione del cateto AB sull’ipotenusa BC) e la terza ha diametro CH (proiezione del cateto AC sull’ipotenusa BC).
Per calcolare l’ipotenusa BC si utilizza il secondo teorema di Euclide:
BC : AB = AB : BH ⟹ BC = AB2 / BH ⟹ BC = 1024/25,6 ⟹ BC = 40cm
Per calcolare AH si va per differenza:
CH = BC – BH ⟹ AH = 40 – 25,6 ⟹ CH =14,4cm
Il perimetro del contorno colorato vale:
2p= BC ⋅ π / 2 + BH ⋅ π / 2 + CH ⋅ π / 2 ⟹ 2p = 40 π / 2 + 25,6 π /2 + 14,4 π / 2 ⟹ 2p = 40πcm
L’area del contorno colorato è costituita dalla differenza tra la metà del cerchio di diametro BC e le metà dei due cerchi di diametro AH e BH.
L’area del cerchio di diametro:
BC vale ABC = π (BC/2)2 ⟹ ABC = 400πcm2
BH vale ABH = π (BH/2)2 ⟹ ABH =163,84πcm2
CH vale ACH=π (CH/2)2 ⟹ ACH = 51,84πcm2
Ricordando che di tali aree occorre prenderne la metà si ha:
A = ABC / 2 – ACH / 2 – ABH / 2 ⟹ A = 200π – 81,92π – 25,92π ⟹ A = 92,16π cm2
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