Matematica: le disequazioni di II grado fratte con esercizi svolti
Risolvere la seguente disequazione:
$$\displaystyle\frac{x^2-x-6}{x^2+3x-4}>0$$
Per quanto riguarda il numeratore si ha:
$$ \Delta=1+24=25 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=5 $$
$$ x_{1,2}=\displaystyle\frac{1\pm 5}{2} \Rightarrow \; x_1=-2\;\;\;x_2=3$$
Poiché il segno della frazione e del discriminante sono concordi, la disequazione risulta verificata per valori esterni all’intervallo di estremi \(x_1=-2\) e \(x_2=3\), ovvero: \(\;x_1<-2\;\vee\;x_2>3\).
Per quanto riguarda il denominaratore si ha:
$$ \Delta=9+16=25 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=5 $$
$$ x_{1,2}=\displaystyle\frac{-3\pm 5}{2} \Rightarrow \; x_1=-4\;\;\;x_2=1$$
Occorre verificare le condizioni di esistenza della frazione, per cui denominatore deve essere non nullo: \(x^2+3x-4 \ne0\) \(\Rightarrow\) \(\;x_1\ne-4\;\vee\;x_2\ne1\).
Poiché il segno della frazione e del discriminante sono concordi, la disequazione risulta verificata per valori esterni all’intervallo di estremi \(x_1=-4\) e \(x_2=1\), ovvero: \(\;x_1<-4\;\vee\;x_2>1\)
Dal punto di vista grafico si ha:
La disequazione è quindi verificata per:
$$x<-4 \;\; \vee \;-2<x<1 \;\; \vee \; x>3$$
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