Le derivate prime: esercizi svolti
$$y(x)=\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x$$
La funzione si presenta nella forma:
$$y(x)=[f(x)]^{g(x)}$$
con \(f(x)=1+\displaystyle\frac{1}{x}\) e \(g(x)=x\)
Si tratta quindi di una funzione composta esponenziale la cui derivata generale è:
$$ \left( [f(x)]^{g(x)}\right)’ = g'(x) \cdot ln(f(x)) + \displaystyle\frac{f'(x)\cdot g(x)}{f(x)}$$
e poiché \( g'(x)=1\;\) e \(\;f'(x)= – \displaystyle\frac{1}{x^2}\) si ha:
$$\left[\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x\right]’=
ln \left( 1+\displaystyle\frac{1}{x} \right) + \displaystyle\frac{x \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)} {1+\displaystyle\frac{1}{x}}=
$$$$=
ln \left( 1+\displaystyle\frac{1}{x} \right) – \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{1}{x}} {\displaystyle\frac{x+1}{x}}
$$
$$\left[\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x\right]’=
ln \left( 1+\displaystyle\frac{1}{x} \right) – \displaystyle\frac{1 } {x+1}
$$
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