Analisi Matematica: Applicazioni delle derivate alla geometria analitica
Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico della seguente funzione nel punti di ascissa \(x_0\) segnati a fianco.
$$y(x)=senx+cosx\;\;\;\;\; x_0=\displaystyle\frac{\pi}{2}$$
L’ordinata \(y_0\) corrispondente a \(x_0=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) è:
$$y\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-1$$
Il punto di tangenza è \(P_0\left(\displaystyle\frac{\pi}{2};-1\right)\).
Ricordando che la retta tangente a \(y(x)\) passante per il punto \(P_0(x_0;y_0)\) è \(y-y_0=m(x-x_0)\) con \(m=y'(x_0)\) si ha:
$$y’\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)-sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-1 $$
Il coefficiente angolare della retta tangente è: \(m=-1\).
L’equazione della retta tangente è allora:
$$y-1=-1\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$$
$$y=-x+1+\displaystyle\frac{\pi}{2}$$
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