Analisi Matematica: Applicazioni delle derivate alla geometria analitica
Determinare le coordinate dei punti nei quali le rette, aventi il coefficiente angolare indicato di fianco, risultano tangenti al grafico della seguente funzione:
$$y(x)=\sqrt{1-x^2}\;\;\;\;\; m=2$$
Dopo aver calcolato la derivata prima della funzione data, occorre risolvere l’equazione \(f'(x_0)=m\):
$$y'(x)=\displaystyle\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}$$
$$\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=2\Rightarrow \displaystyle\frac{x^2}{1-x^2}=4 \Rightarrow x^2=4-4x^2$$
$$ x_1=-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}} \;\;\;\; x_2=+\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}$$
A questo punto è possibile associare, alle ascisse appena trovate, le relative coordinate:
$$y_1\left(-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\sqrt{1- \left(-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}\;\;\;\;y_2\left(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\sqrt{1- \left(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}$$
$$ y_1=y_2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}$$
Di conseguenza, le coordinate dei punti nei quali la retta tangente al grafico della funzione sono:
$$P_1\left(-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}; \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\;\;\;\;P_2\left(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}; \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$$
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